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\author{Didnelpsun}
\title{导数与微分}
\date{}
\begin{document}
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\maketitle
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\section{导数概念}
\subsection{引例}

设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。

$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。

导数的本质是增量比的极限。

\subsection{定义}

设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。\medskip

下面三句话等价：

\begin{enumerate}
    \item $y=f(x)$在$x_0$处可导。
    \item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。
    \item $f'(x)=A$。（$A$为有限数）
\end{enumerate}

单侧导数分为左导数和右导数。\medskip

$f'_-(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$f'_+(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$\medskip

所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。

若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。

若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。

该证明是准备部分的定理。

证明：首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。

$\therefore$

$
\begin{aligned}
    f'(-x) &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\
    & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\
    & =-\lim\limits_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\
    & =-f'(x)
\end{aligned}
$

同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。

证明：已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。\medskip

$\therefore f'(x+T)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。

\textbf{例题：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。\medskip

解：$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。

$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。

$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。

$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。\medskip

\textbf{例题：}$\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}(x>0)$。\medskip

解：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$\medskip

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha-1}$

\subsection{导数的几何意义}

导数$f'(x_0)$在几何上就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。

法线方程：$y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。

\subsection{可导与连续的关系}

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}可导必连续，连续不一定可导。

证明：已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。

可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$

$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x=A\cdot 0=0$

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。

证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。

又$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。

如$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。

\section{函数求导法则}

\subsection{四则运算}

若函数可导：

\begin{enumerate}
    \item 和差的导数：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$。
    \item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)$。
    \item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
\end{enumerate}

证明$(uv)'=u'v+uv'$。

证明：令$f(x)=u(x)v(x)$。

$(u\cdot v)'$

$=f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)$

$=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$

\subsection{反函数导数}

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$，

则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。\medskip

$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。

\textbf{例题：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。

解：首先反三角函数就是三角函数的反函数。

求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。\medskip

$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arcsin x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\sin y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。\medskip

求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。\medskip

$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arctan x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\tan y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip

二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：\medskip

$f''(x)=y''_{xx}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$

$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip

其中$\textrm{d}x\cdot\textrm{d}x=(\textrm{d}x)^2=\textrm{d}x^2$称为微分的幂，而$\textrm{d}(x^2)$叫幂的微分。

\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\textrm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。

解：$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。\medskip

其中根据变限积分求导公式：$f'(x)=2e^{4x^2}$，$f''(x)=2e^{4x^2}\cdot 8x=16xe^{4x^2}$。\medskip

又$y=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\varphi''(1)=-\dfrac{f''\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left[f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]^3}=-\dfrac{1}{e^2}$。

\subsection{复合函数的导数}

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。

\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^n}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？

解：原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^{100}}{4}-100\right)$。

令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^{100}}{4}-100\right)=g(x)$。\medskip

$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。\medskip

$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。\medskip

$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。

$\therefore f'(1)$

$=f'(x)\vert_{x=1}=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x)=\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)=\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!$

\subsection{分段函数的导数}

设$f(x)=\left\{
    \begin{array}{lcl}
        f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\
        f_2(x), & & x<x_0 \\
    \end{array}
\right.$。\medskip

在分段点用定义：

判断$f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。如果相等就挖去这个点，否则就包含这个点。

非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。

\subsection{对数求导法}

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则\ding{172}等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。\ding{173}两边对自变量$x$求导，得$\dfrac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=y[\ln f(x)]'$。

\textbf{例题：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。

解：取对数：$\ln\vert y\vert=\dfrac{1}{3}[\ln\vert x+1\vert+2\ln\vert 2x-1\vert-5\ln\vert 4-3x\vert]$。

$\because \ln\vert y\vert'=\ln y'$。

两边对x求导：\medskip

$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)$

$\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\cdot(-3)\right)y$

\subsection{幂指函数求导法}

非常重要。

对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。

然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$

$=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。

\textbf{例题：}求$y=x^x(x>0)$的导数。

解：$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x)'=(e^{x\ln x})'=x^x\cdot(\ln x+1)$。

\textbf{例题：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。

解：$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。

$\therefore y'=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)=\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)'=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

令导数结果为0，因为$x^{\frac{1}{x}}$与$x^2$在$x>0$时都不为0，所以只有一个驻点$x=e$。

$0<x<e$时$1-\ln x$大于0，所以导数大于0，函数在该区间增。相反$x>e$时函数在区间减。

研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty}\to 0$。

研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
    \draw[-latex](-0.5,0) -- (10,0) node[below]{$x$};
    \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$y$};
    \draw[black, thick, domain=0.1:10] plot (\x,{pow(\x,pow(\x,-1))});
    \filldraw[black] (8,2.5) node{$y=x^{\frac{1}{x}}$};
    \filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,0) circle (4pt);
    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
    \filldraw[black] (e,1.5) circle (4pt);
    \filldraw[black] (e,1.5) node[above]{$(e,\sqrt[e]{e})$};
    \draw[black, densely dashed](e,1.5) -- (e,0) node[below]{$e$};
    \draw[black, densely dashed](10,1.5) -- (0,1.5) node[left]{$\sqrt[e]{e})$};
\end{tikzpicture}

所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后$\sqrt{2}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。

\section{高阶导数}

\subsection{定义}

高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。

若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上$n$阶连续可导。

\begin{itemize}
    \item $(e^x)^{(n)}=e^x$。
    \item $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2})$。
    \item $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2})$。
    \item $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$。
\end{itemize}

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}

设$u,v$都是$n$阶可导，则：

\begin{itemize}
    \item $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$。
    \item 莱布尼兹公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
\end{itemize}

\subsection{归纳法}

即依次求导得出规律。

$(a^x)^n=a^x(\ln a)^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y'=2^x\ln 2$，$y''=2^x(\ln 2)^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2)^n,n\in N$。

\textbf{例题：}求$\sin x$的$n$阶导数。

解：$\because \sin x'=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。

使用诱导公式：

$y'=\cos x=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})$

$y''=\cos(x+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2})$

$\cdots$

$y^{(n)}=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}\cdot n)$

\subsection{莱布尼茨公式}

\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。

展开：$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^nu^{(0)}v^{(n)}$。

莱布尼兹公式里的系数与考研数学准备章节的因式分解公式的二次项公式的系数一致，可以使用杨辉三角形来记忆：

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \node[black] at (0,0) {$C_0^0$};
    \node[black] at (-1,-1) {$C_1^0$};
    \node[black] at (0,-1) {$C_1^1$};
    \node[black] at (-2,-2) {$C_2^0$};
    \node[black] at (-1,-2) {$C_2^1$};
    \node[black] at (-0,-2) {$C_2^2$};
    \node[black] at (-3,-3) {$C_3^0$};
    \node[black] at (-2,-3) {$C_3^1$};
    \node[black] at (-1,-3) {$C_3^2$};
    \node[black] at (-0,-3) {$C_3^3$};
    \node[black] at (-4,-4) {$C_4^0$};
    \node[black] at (-3,-4) {$C_4^1$};
    \node[black] at (-2,-4) {$C_4^2$};
    \node[black] at (-1,-4) {$C_4^3$};
    \node[black] at (-0,-4) {$C_4^4$};
\end{tikzpicture}
\hspace{2.5em}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    \node[black] (0) at (0,0) {1};
    \node[black] (1) at (-1,-1) {1};
    \node[black] (2) at (1,-1) {1};
    \node[black] (3) at (-2,-2) {1};
    \node[black] (4) at (0,-2) {2};
    \node[black] (5) at (2,-2) {1};
    \node[black] (6) at (-3,-3) {1};
    \node[black] (7) at (-1,-3) {3};
    \node[black] (8) at (1,-3) {3};
    \node[black] (9) at (3,-3) {1};
    \node[black] (10) at (-4,-4) {1};
    \node[black] (11) at (-2,-4) {4};
    \node[black] (12) at (0,-4) {6};
    \node[black] (13) at (2,-4) {4};
    \node[black] (14) at (4,-4) {1};
    \draw[-,thick] (0) to (1);
    \draw[-,thick] (0) to (2);
    \draw[-,thick] (1) to (3);
    \draw[-,thick] (1) to (4);
    \draw[-,thick] (2) to (4);
    \draw[-,thick] (2) to (5);
    \draw[-,thick] (3) to (6);
    \draw[-,thick] (3) to (7);
    \draw[-,thick] (4) to (7);
    \draw[-,thick] (4) to (8);
    \draw[-,thick] (5) to (8);
    \draw[-,thick] (5) to (9);
    \draw[-,thick] (6) to (10);
    \draw[-,thick] (6) to (11);
    \draw[-,thick] (7) to (11);
    \draw[-,thick] (7) to (12);
    \draw[-,thick] (8) to (12);
    \draw[-,thick] (8) to (13);
    \draw[-,thick] (9) to (13);
    \draw[-,thick] (9) to (14);
\end{tikzpicture}

\textbf{例题：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。

解：根据莱布尼兹公式：

$(e^x\cos x)^{(4)}$

$=C_4^0e^x\cos x+C_4^1e^x(-\sin x)+C_4^2e^x(-\cos x)+C_4^3e^x(\sin x)+C_4^4e^x(\cos x)$

$=e^x\cos x+4e^x(-\sin x)+6e^x(-\cos x)+4e^x\sin x+e^x\cos x$

$=-4e^x\cos x$

\section{隐函数与参数方程的导数以及相关变化率}

\subsection{隐函数求导法}

设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。

\textbf{例题：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。

解：两边求导：

$
\begin{aligned}
    \sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\
    \cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\
    \because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\
    e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\
    y'(0) & =e-e^4
\end{aligned}
$

\subsection{参数方程函数导数}

\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
    \begin{array}{l}
        x=\varphi(t) \\
        y=\psi(t)
    \end{array}
\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则：

\medskip

一阶导数：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。

二阶导数：$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}u/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$

\textbf{例题：}设$y=y(x)$由方程$\left\{
\begin{array}{l}
    x=\sin t \\
    y=t\sin t+\cos t
\end{array}
\right.
$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。

解：求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：\medskip

$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。\medskip

$\therefore\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$\medskip

$\therefore \sqrt{2}$。

当所求是极坐标方程时，可以使用$x=\rho(\theta)\cos\theta$和$y=\rho(\theta)\sin\theta$进行转换为参数方程然后进行求导。

\subsection{相关变化率}

已知$x=x(t)$与$y=y(t)$都是可导函数，而变量$xy$之间存在一定的关系，从而导致变化率$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}$与$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}$之间也存在一定关系，这就是相关变化率。。

列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。

\section{函数微分}

\subsection{定义}

有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。

    增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\textrm{d}y$，叫做$y$的微分。

    $\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\textrm{d}x$。

    由此，可导必可微，可微必可导。
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
        \draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
        \draw[black, thick, domain=-0.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$};
        \draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
        \draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
        \draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
        \draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\textrm{d}y\cdot x+b$};
        \draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
        \draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
        \draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
        \draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875);
        \draw[black](3,3) -- (4.5,3);
        \draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125);
        \draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
        \filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
        \filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
        \filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\textrm{d}y$}};
        \filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage} \medskip

所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。微分就是瞬时改变量，而导数就是瞬时改变速率。

\subsection{基本运算}

\subsubsection{四则运算}

若函数可导：

\begin{enumerate}
    \item 和差的微分：$\textrm{d}[ku(x)\pm lv(x)]=k\textrm{d}u(x)\pm l\textrm{d}v(x)$。
    \item 积的微分：$\textrm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\textrm{d}v(x)+v(x)\textrm{d}u(x)$。
    \item 商的微分：$\textrm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\textrm{d}u(x)-u(x)\textrm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
    \item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。
\end{enumerate}

\subsubsection{微分形式不变性}

\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。

一阶微分形式不变性指：$\textrm{d}f\,(\varsigma)=f\,'(\varsigma)\textrm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。

\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\textrm{d}y$。

解：$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$

$
\begin{aligned}
    \textrm{d}y &=\textrm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
    & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\textrm{d}(\sin(\ln x)) \\
    & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\textrm{d}\ln x \\
    & =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\textrm{d}x
\end{aligned}
$

\section{基本求导公式}

\subsection{对幂指函数}

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
        $C$ & $0$ & $n^x$ & $n^x\ln n$ \\ \hline
        $\log_ax$ & $\dfrac{1}{x\ln a}$ & $\ln x=\ln\vert x\vert$ & $\dfrac{1}{x}$ \\ \hline
        $x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\sqrt[n]{x}$ & $\dfrac{x^{-\frac{n-1}{n}}}{n}$ \\ \hline
        $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ & & \\ 
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\subsection{三角与反三角函数}

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
        $\sin x$ & $\cos x$ & $\cos x$ & $-\sin x$ \\ \hline
        $\tan x$ & $\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$ & $\cot x$ & $\dfrac{1}{\sin^2x}=\csc^2x$ \\ \hline
        $\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline
        $\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline
        $\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\textrm{arccot}\,x$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline
        $\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\subsection{双曲与反双曲函数}

\begin{itemize}
    \item 双曲正弦：$\textrm{sinh}\,x=\textrm{sh}\,x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$。
    \item 双曲余弦：$\textrm{cosh}\,x=\textrm{ch}\,x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$。
    \item 双曲正切：$\textrm{tanh}\,x=\textrm{th}\,x=\dfrac{\textrm{sinh}\,x}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$。
    \item 双曲余切：$\textrm{coth}\,x=\dfrac{\textrm{cosh}\,x}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$。
    \item 双曲正割：$\textrm{sech}\,x=\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}$。
    \item 双曲余割：$\textrm{csch}\,x=\dfrac{1}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}$。
    \item 反双曲正弦：$\textrm{arcsinh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。
    \item 反双曲余弦：$\textrm{arccosh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。
    \item 反双曲正切：$\textrm{arctanh}\,x=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$。
\end{itemize}

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
        $\textrm{sinh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{sinh}\,x$ \\ \hline
        $\textrm{tanh}\,x$ & $\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x^2}$ & $\textrm{arcsinh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline
        $\textrm{arccosh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arctan}\,x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\end{document}
